Question

12．下列對(duì)于函數(shù)f（x）=2+2cos²x，x∈（0，3π）的判斷不正確的是（　　）

• A． 對(duì)于任意x∈（0，3π），都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$
• B． 存在a∈R，使得函數(shù)f（x+a）為偶函數(shù)
• C． 存在x₀∈（0，3π），使得f（x₀）=4
• D． 函數(shù)f（x）在區(qū)間$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$內(nèi)單調(diào)遞增

Answer 1

分析 化簡f（x）=2+2cos²x=2+cos2x+1=3+cos2x，根據(jù)函數(shù)的周期性可判斷A；取a=π進(jìn)行驗(yàn)證，可判斷B；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D．

解答 解：f（x）=2+2cos²x=2+cos2x+1=3+cos2x，
對(duì)于A，函數(shù)f（x）的周期為$T=\frac{2π}{2}=π$，對(duì)于任意x∈（0，3π），都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
可知f（x₁）是函數(shù)的最小值，f（x₂）是函數(shù)的最大值，|x₁-x₂|的最小值就是函數(shù)的半周期$\frac{π}{2}$，故A正確；
對(duì)于B，不妨取a=π，則函數(shù)f（x+a）=3+cos（2x+2π）=3+cos2x為偶函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，x=π∈（0，3π），cos2x=1，f（x）=4，故存在x₀∈（0，3π），使得f（x₀）=4，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)x∈$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$時(shí)，2x∈$[π，\frac{5π}{2}]$，此時(shí)函數(shù)不具備單調(diào)性，故D不正確．
∴對(duì)于函數(shù)f（x）=2+2cos²x，x∈（0，3π）的判斷不正確的是：D．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)奇偶性的判斷，是中檔題．