Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，E為PD的中點．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AD，求證：平面AEC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O點，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；
（2）要證平面PDC⊥平面AEC，需要證明CD⊥AE，AE⊥PD，即垂直平面AEC內(nèi)的兩條相交直線．

解答 證明：（1）連接BD交AC于O點，連接EO，
∵O為BD中點，E為PD中點，
∴EO∥PB，
又EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又AD⊥CD，且AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，又AE?平面PAD，
∴CD⊥AE．
∵PA=AD，E為PD中點，
∴AE⊥PD．
又CD∩PD=D，
∴AE⊥平面PDC，
又AE?平面PAD，
∴平面PDC⊥平面AEC．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題．