Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=5，a₄+a₈=22．{a_n}的前n項和為s_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求使得s_n＞5n成立的最小正整數(shù)n的值．
（3）設c_n=（-1）ⁿ⁺¹•a_n•a_n+1，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）∵a₄+a₈=22，∴a₆=11，∴a₆-a₃=3d=11-5=6，∴d=2，∴a₁=1，∴a_n=2n-1． …（3分）
（2），∴n²＞5n，故n的最小正整數(shù)為6．…（6分）
（3）c_n=（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）（2n+1）=（-1）ⁿ⁺¹（4n²-1）=…（8分）
①n為奇數(shù)時，Tn=（4×1²-1）+（1-4×2²）+（4×3²-1）+（1-4×4²）+…+4n²-1=-4（2²-1²+4²-3²+…+（n-1）²-（n-2）² ）+4n²-1
=-4（3+7+11+…+2n-3）+4n²-1=2n²+2n-2，…（10分）
②n為偶數(shù)時，Tn=（4×1²-1）+（1-4×2²）+（4×3²-1）+（1-4×4²）+…+1-4n²=-4（2²-1²+4²-3²+…+（n）²-（n-1）²）
-4（3+7+11+…+2n-1）=-2n²-2n，…（12分）
∴．…（14分）
分析：（1）由 a₄+a₈=22，可得a₆=11，由a₆-a₃=3d求出d=2，從而求出a₁=1，進而得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由，結(jié)合題意可得n²＞5n，故n的最小正整數(shù)的值．
（3）c_n=（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）（2n+1）=（-1）ⁿ⁺¹（4n²-1）=，分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況分別求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的前n項和公式的應用，求出首項a1和公差d的值，是解題的關鍵，屬于基礎題．