Question

21、已知圓C：x²+y²-4x+2y+1=0，直線(xiàn)l：y=kx-1．
（1）當(dāng)k為何值時(shí)直線(xiàn)l過(guò)圓心；
（2）是否存在直線(xiàn)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC的面積為2？如果存在，求出直線(xiàn)l的方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中圓C的一般方程x²+y²-4x+2y+1=0，我們可以求出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)后，代入直線(xiàn)方程構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得到答案．
（2）由（1）的結(jié)論我們易得圓C的半徑為2，又由△ABC的面積為2，則∠ACB=90°，求出滿(mǎn)足條件的k值，代入即可得到滿(mǎn)足條件 的直線(xiàn)方程．

解答：解：（1）圓C：x²+y²-4x+2y+1=0的一般方程為（x-2）²+（y+1）²=2
其中圓心為（2，-1）點(diǎn)
若直線(xiàn)l：y=kx-1過(guò)圓心
則-1=2k-1，解得K=0
即k=0時(shí)，直線(xiàn)l過(guò)圓心；
（2）∵圓C的半徑為2
故當(dāng)△ABC的面積為2時(shí)，OA⊥OB
又∵直線(xiàn)l：y=kx-1恒過(guò)圓上一點(diǎn)（0，-1）
故當(dāng)K=±1時(shí)滿(mǎn)足要求
此時(shí)直線(xiàn)方程為y=±x-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，其中求出圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答的關(guān)鍵．