(2012•包頭三模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)為F(2,0),M為橢圓的上頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且△MOF是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn),設(shè)兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=8,證明:直線AB過定點(diǎn)(-
1
2
 , -2
).
分析:(Ⅰ)由△MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,再根據(jù)a2=b2+c2可求得a;
(Ⅱ)分情況討論:(1)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)AB的方程為:y=kx+m,聯(lián)立直線AB方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程,由韋達(dá)定理及k1+k2=8可得關(guān)于k,m的關(guān)系式,消m代入直線AB方程可求得定點(diǎn)坐標(biāo);(2)若直線AB的斜率不存在,設(shè)AB方程為x=x0,由已知可求得AB方程,易驗(yàn)證其過定點(diǎn);
解答:(Ⅰ)解:由△MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,a2=8,
故橢圓方程為:
x2
8
+
y2
4
=1.
(Ⅱ)證明:(1)若直線AB的斜率存在,設(shè)AB的方程為:y=kx+m,依題意得m≠±2,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x2
8
+
y2
4
=1
y=kx+m
,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
x1+x2=-
4km
1+2k2
,x1x2=
2m2-8
1+2k2

由已知 k1+k2=8,可得 
y1-2
x1
+
y2-2
x2
=8

所以
kx1+m-2
x1
+
kx2+m-2
x2
=8
,即2k+(m-2)
x1+x2
x1x2
=8
.     
所以k-
mk
m+2
=4
,整理得 m=
1
2
k-2

故直線AB的方程為y=kx+
1
2
k-2
,即y=k(x+
1
2
)-2.
所以直線AB過定點(diǎn)(-
1
2
 , -2
).   
(2)若直線AB的斜率不存在,設(shè)AB方程為x=x0,
設(shè)A(x0,y0),B(x0,-y0),
由已知
y0-2
x0
+
-y0-2
x0
=8
,得x0=-
1
2

此時(shí)AB方程為x=-
1
2
,顯然過點(diǎn)(-
1
2
 , -2
).
綜上,直線AB過定點(diǎn)(-
1
2
 , -2
).
點(diǎn)評:本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,考查分類討論思想,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.
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x-2y+3≥0
2x-3y+4≤0
y≥0
,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(其中a>0,b>0)的最大值為3,則
1
a
+
2
b
的最小值為
3
3

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π
2
)
在區(qū)間[
π
6
,
3
]
上單調(diào)遞減,且函數(shù)值從1減小到-1,那么此函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為( 。

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2
2

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