Question

已知函數(shù)f（x）=2x-lnx-m，g（x）=mx-1（m∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x-y=0，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）若直線y=-1與函數(shù)f（x）=2x-lnx-m的圖象無公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f'（1），再求出f（1），代入直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，由其最小值大于-1 求得m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2x-lnx-m，
∴f′(x)=2-

1

x

，∴f'（1）=1．
∵f（1）=2-m，
故函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））的切線方程為y-（2-m）=x-1，即x-y+1-m=0．
又已知切線方程為x-y=0，
∴1-m=0，解得m=1；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）．
令f'（x）＞0，得x＞

1

2

，故函數(shù)f（x）在(

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增；
令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

2

；故函數(shù)f（x）在(0，

1

2

)上單調(diào)遞減，
故函數(shù)f（x）在x=

1

2

處取得最小值．即f(x)min=f(

1

2

)=1+ln2-m．
故函數(shù)f（x）的取值范圍是[1+ln2-m，+∞）．
若直線y=-1與函數(shù)f（x）=2x-lnx-m的圖象無公共點(diǎn)，
則1+ln2-m＞-1，解得m＜2+ln2．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，2+ln2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．