Question

已知0＜α＜

π

2

，cosα=

3

5

，tanβ=

1

3

．求下列式子的值：
（1）tanα；    
（2）cos（π-α）-sin（α+

π

2

）；  
（3）tan（α-2β）．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù),運用誘導(dǎo)公式化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）依題意，利用sin²α+cos²α=1，即可求得sinα=

1-cos2α

=

4

5

，繼而可得tanα； 
（2）利用cosα=

3

5

及誘導(dǎo)公式即可求得cos（π-α）-sin（α+

π

2

）；  
（3）利用二倍角的正切及兩角差的正切公式即可求得tan（α-2β）的值．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）∵sin²α+cos²α=1，0＜α＜

π

2

，cosα=

3

5

，
∴sinα=

1-cos2α

=

4

5

，
∴tanα=

4

3

；  …（4分）
（2）cos（π-α）-sin（α+

π

2

）=-cosα-cosα=-

6

5

； …（8分）
（3）∵tanβ=

1

3

，∴tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

．…（10分）
∴tan（α-2β）=

tanα-tan2β

1+tanαtan2β

=

4 3 - 3 4

1+ 4 3 × 3 4

=

7

24

．…（12分）

點評：本題考查運用誘導(dǎo)公式化簡求值，著重考查三角函數(shù)間的關(guān)系式及二倍角的正切與兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于中檔題．