Question

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連接PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn)Q的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，能夠?qū)С?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214011986710243/SYS201310232140119867102018_DA/1.png">．再由可以導(dǎo)出橢圓C的方程為．
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為y=k（x-4）．由得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，再由根與系數(shù)的關(guān)系證明直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q（1，0）．
（Ⅲ）分MN的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)過點(diǎn)Q直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y=m（x-1），且M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）在橢圓C上．由得（4m²+3）x²-8m²x+4m²-12=0．再由根據(jù)判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解的取值范圍；當(dāng)過點(diǎn)Q直線MN的斜率不存在時，其方程為x=1，易得M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的取值范圍，綜合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，
所以．
即．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214011986710243/SYS201310232140119867102018_DA/11.png">，
所以a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為．
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為y=k（x-4）．
由得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0．①
設(shè)點(diǎn)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則A（x₁，-y₁）．
直線AE的方程為．
令y=0，得．
將y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入，
整理，得．②
由①得，代入②
整理，得x=1．
所以直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q（1，0）．
（Ⅲ）當(dāng)過點(diǎn)Q直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y=m（x-1），且M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）在橢圓C上．
由得（4m²+3）x²-8m²x+4m²-12=0．
易知△＞0．
所以，，．
則=．
因?yàn)閙²≥0，所以．
所以．
當(dāng)過點(diǎn)Q直線MN的斜率不存在時，其方程為x=1．
解得，N（1，）或M（1，）、N（1，-）．
此時．
所以的取值范圍是．
點(diǎn)評：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用和直線 與橢圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用．