Question

已知F₁，F(xiàn)₁是雙曲線C₁

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與橢圓C₂：

x2

25

+

y2

9

=1的公共焦點(diǎn)，A，B是兩曲線分別在第一，三象限的交點(diǎn)，且以F₁，F(xiàn)₂，A，B為頂點(diǎn)的四邊形的面積為6

6

，則雙曲線C₁的離心率為（　�。�

• A、

  2 10

  5

• B、

  10

  3

• C、

  3 5

  5

• D、

  5

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出橢圓的焦點(diǎn)，利用以F₁、F₂、A、B為頂點(diǎn)的四邊形的面積為6

6

，求出A的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義求出a，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：橢圓C₂：

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±4，0），
設(shè)A的坐標(biāo)為（x，y）（x＞0，y＞0），則
∵以F₁、F₂、A、B為頂點(diǎn)的四邊形的面積為6

6

，
∴2×

1

2

×8×y=6

6

，
∴y=

3 6

4

，
代入橢圓方程可得x=

5 10

4

，
∴|AF₁|-|AF₂|=2

10

，
∴e=

c

a

=

2 10

5

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓、雙曲線的性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．