Question

10．已知雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1 （a＞0，b＞0），其中斜率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$的直線與其一條漸近線平行．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的漸近線方程，由題意可得b=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值；
（2）根據(jù)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線，寫出直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，及A，B，C為雙曲線上的點(diǎn)，注意整體代換，并代足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，即可求得λ的值．

解答 解：（1）雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由斜率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$的直線與其一條漸近線平行，可得
$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即b=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$；
（2）由（1）可得雙曲線的方程為x²-5y²=5b²，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5{y}^{2}=5^{2}}\\{y=x-c}\end{array}\right.$，得4x²-10cx+35b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{5}{2}$c，x₁•x₂=$\frac{35^{2}}{4}$，
設(shè)$\overrightarrow{OC}$=（x₃，y₃），$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=λ{(lán)x}_{1}+{x}_{2}}\\{{y}_{3}=λ{(lán)y}_{1}+{y}_{2}}\end{array}\right.$，
又C為雙曲線上一點(diǎn)，即x₃²-5y₃²=5b²，
有（λx₁+x₂）²-5（λy₁+y₂）²=5b²，
化簡得：λ²（x₁²-5y₁²）+（x₂²-5y₂²）+2λ（x₁x₂-5y₁y₂）=5b²，
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在雙曲線上，
所以x₁²-5y₁²=5b²，x₂²-5y₂²=5b²，
而x₁x₂-5y₁y₂=x₁x₂-5（x₁-c）（x₂-c）
=-4x₁x₂+5c（x₁+x₂）-5c²=-4•$\frac{35^{2}}{4}$+5c•$\frac{5c}{2}$-5c²
=$\frac{15{c}^{2}}{2}$-35b²=$\frac{15}{2}$•6b²-35b²=10b²，
得λ²+4λ=0，
解得λ=0或-4．

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)難題．本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力．其中問題（2）考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．