Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥面ABCD，BC∥AD，∠ABD=90°，BC=SD=

1

2

AD=1．
（1）證明：AB⊥平面SDB；
（2）若M為BS中點，求二面角M-CD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由線面垂直的判定與性質(zhì)，結合題意即可證出AB⊥平面SDB；
（2）取AD中點O，連結OB，則四邊形ODBC的為菱形，從而CD=AB=1，∠ADC=60°．建立如圖所示空間直角坐標系，使y軸正方向與DC成30°角得D、A、C、S和M的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法解出平面MCD的一個法向量是

n

=(

3

，1，-

3

)，結合平面CDB的一個法向量為

m

=（0，0，1），利用空間向量的夾角公式加以計算，即可得出二面角M-CD-B的余弦值．

解答：解：（1）∵SD⊥面ABCD，AB?面ABCD，
∴SD⊥AB
∵BD⊥AB，AD∩BD=D，
∴AB⊥平面SDB；
（2）取AD中點O，連結OB，
∵Rt△ABD中，OB=

1

2

AD=1=BC=OD，∴四邊形ODBC為菱形．
可得CD=AB=1，∠ADC=60°
建立如圖所示空間直角坐標系，y軸的正方向與DC成30°角．
可得D（0，0，0），A（2，0，0），C（

1

2

，

3

2

，0），
S（0，0，1），M（

3

4

，

3

4

，

1

2

）
可得平面CDB的一個法向量為

m

=（0，0，1），
設平面MCD的法向量為

n

=(x，y，z)，得

n • DC = 1 2 x+ 3 2 y=0 n • DM = 3 4 x+ 3 4 y+ 1 2 z=0

，
取x=-

3

，得y=1，z=

3

，即

n

=(

3

，1，-

3

)，
設二面角M-CD-B的平面角的大小為α，則
cosα=|

m • n

| m |•| n |

|=|

0• 3 +0×1+1×(- 3 )

0+0+1 • 3+1+3

|=

21

7

．
∴二面角M-CD-B的余弦值等于

21

7

．

點評：本題給出特殊的四棱錐，求證線面垂直并求二面角的大�。�著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間坐標系求二面角的角大小和空間向量的夾角公式等知識，屬于中檔題．