Question

已知函數(shù)f（x）=

x3

3

+ax²+bx+c-ln（x+2）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1，b=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)

1

2

≤a≤1，b=2時(shí)，對(duì)任意x∈[-1，+∞），總有f（x）≥

2

3

，求實(shí)數(shù)c的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=-1，b=-2代入表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出單調(diào)區(qū)間，
（Ⅱ）先求出f′（x）=

x3+(2a+2)x2+(4a+2)x+3

x+2

，（x＞-1），設(shè)g（x）=x³+（2a+2）x²+（4a+2）x+3，g（x）在（-1，+∞）遞增，從而f（x）在（-1，+∞）遞增，得f（x）≥f（-1），得不等式-

1

3

+a-2+c≥

2

3

，進(jìn)而c≥（3-a）_max=

5

2

，問題得解．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1，b=-2時(shí)，
f（x）=

x3

3

-x²-2x+c-ln（x+2），
∴f′（x）=

(x+1)(x2-x-5)

x+2

，（x＞-2）．
由f′（x）≥0，解得：x≥

1+ 21

2

或

1- 21

2

≤x≤-1，
∴f（x）在（-2，

1- 21

2

）遞減，在[

1- 21

2

，-1]遞增，
在（-1，

1+ 21

2

）遞減，在[

1+ 21

2

，+∞）遞增，
（Ⅱ）∵f′（x）=

x3+(2a+2)x2+(4a+2)x+3

x+2

，（x＞-1），
設(shè)g（x）=x³+（2a+2）x²+（4a+2）x+3，
∴g′（x）=3x²+2（2a+2）x+（4a+2），
∵

1

2

≤a≤1，
∴-

2a+2

3

≤-1，
∴g′（x）在（-1，+∞）遞增，
∴g′（x）≥g′（-1）＞0，
∴g（x）在（-1，+∞）遞增，
∴g（x）≥g（-1）=2-2a≥0，
即f′（x）≥0，（x≥-1），
∴f（x）在（-1，+∞）遞增，
∴f（x）≥f（-1），
要使對(duì)?x∈[-1，+∞）總有f（x）≥

2

3

，
有f（-1）≥

2

3

即可，
即：-

1

3

+a-2+c≥

2

3

，
∴c≥（3-a）_max=

5

2

，
∴c的最小值為

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．