Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AD∥BC，AB⊥AD，點E在BC上，BC=2AB=2AD=4BE=4．
（1）求證：平面PED⊥平面PAC；
（2）若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面PED⊥平面PAC．
（2）求出平面PAC的一個法向量和平面PCD的一個法向量，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，
∴PA⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，∴以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），設(shè)P（0，0，λ），λ＞0，
則$\overrightarrow{AC}$=（2，4，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，-2），$\overrightarrow{DE}$=（2，-1，0），
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AC}$=4-4+0=0，$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{AP}$=0，
∴DE⊥AC，DE⊥AP，
∵AC∩AP=A，∴DE⊥平面PAC，
∵DE?平面PED，∴平面PED⊥平面PAC．
解：（2）由（1）知平面PAC的一個法向量為
$\overrightarrow{DE}$=（2，-1，0），
∵直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
$\overrightarrow{PE}$=（2，1，-λ），
∴|cos＜$\overrightarrow{PE}，\overrightarrow{DE}$＞|=|$\frac{4-1}{\sqrt{5}•\sqrt{5+{λ}^{2}}}$|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得λ=±2，
∵λ＞0，∴λ=2，即P（0，0，2），
設(shè)平面PCD的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{DC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{3}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∵二面角A-PC-D的平面角是銳角，
∴二面角A-PC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．