Question

12．已知函數(shù)f（x）=-x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²-2x+2a，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max，分別求出其最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-1+$\frac{a}{x}$=$\frac{-（x-a）}{x}$（x＞0），
①a≤0時(shí)，由于x＞0，故x-a＞0，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）遞減，
②a＞0時(shí)，由f′（x）=0，解得：x=a，
在區(qū)間（0，a）上，f′（x）＞0，在區(qū)間（a，+∞）上，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，a）遞增，在（a，+∞）遞減，
綜上，a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞減，無遞增區(qū)間，
a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，a）遞增，在（a，+∞）遞減；
（Ⅱ）由已知，轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max，
g（x）_max=2a，
由（Ⅰ）得：a＜0時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞減，值域是R，不合題意，
a=0時(shí)，f（x）=-x＜0=g（x）_max，符合題意，
a＞0時(shí)，f（x）在（0，a）遞增，在（a，+∞）遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，
f（a）=-a+alna，故2a＞-a+alna，解得：0＜a＜e³．
綜上，a的范圍是[0，e³]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用以及分類討論思想，是一道中檔題．