Question

【題目】為評(píng)估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線(xiàn)上隨機(jī)抽取100件零件最為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：

直徑/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合計(jì)
件數(shù)	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值μ=65，標(biāo)準(zhǔn)差=2.2，以頻率值作為概率的估計(jì)值．
（1）為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（p表示相應(yīng)事件的頻率）：①p（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≥0.6826．②P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿(mǎn)足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿(mǎn)足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙，若僅滿(mǎn)足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿(mǎn)足，則等級(jí)為�。�試判斷設(shè)備M的性能等級(jí)．
（2）將直徑小于等于μ﹣2σ或直徑大于μ+2σ的零件認(rèn)為是次品
（i）從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線(xiàn)上隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望EY；
（ii）從樣本中隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望EZ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94≥0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98≥0.9974，
因?yàn)樵O(shè)備M的數(shù)據(jù)僅滿(mǎn)足一個(gè)不等式，故其性能等級(jí)為丙；…（4分）
（Ⅱ）易知樣本中次品共6件，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06．
（�。┯深}意可知Y～B（2，），于是EY=2×=；
（ⅱ）由題意可知Z的分布列為

Z	0	1	2
P

故EZ=0×+1×+2×=．
【解析】（Ⅰ）利用條件，可得設(shè)備M的數(shù)據(jù)僅滿(mǎn)足一個(gè)不等式，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）易知樣本中次品共6件，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06．
（�。┯深}意可知Y～B（2，），于是EY=2×=；
（ⅱ）確定Z的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求出其中次品個(gè)數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望EZ．