Question

數(shù)列{a_n}中，，其前n項的和為S_n．
（1）設(shè)，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求S_n的表達式；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題中已知條件先求出b_n+1與b_n的關(guān)系即可證明數(shù)列{b_n}是首項為2，公差為1等差數(shù)列；
（2）先根據(jù)（1）中求得的b_n的通項公式即可求出a_n的通項公式，然后便可求出前n項的和為S_n的表達式；
（3）根據(jù)前面求得的Sn的表達式先求出的表達式，然后證明出（1-），即可證明證：．
解答：解：（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴
=（3分），
又∵b₁==2，
∴b_n是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．（4分）

（2）∵b_n=2+（n-1）•1=n+1，
∴=，（6分）
∴S_n=（1-）+（-）+…+（-）=．
（3）證明：∵，（9分）
∴，

．（13分）
∴（1-）＜2++…+
=．（16分）
點評：本題主要考查了數(shù)列的基本性質(zhì)以及數(shù)列與不等式的綜合，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．