Question

在四棱錐P-ABCD中（如圖），底面是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD，點(diǎn)M，N分別是PC，AB的中點(diǎn)．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求直線PB與底面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用面面平行，證明線面平行即可；
（2）AD的中點(diǎn)F，連接PF，BF，則∠PBF是直線PB與平面ABCD所成的角，從而可得結(jié)論．

解答：（1）證明：取DC的中點(diǎn)E，連接EM、EN，
∵M(jìn)，N分別是PC、AB的中點(diǎn)，∴ME∥PD，NE∥AD，
∵M(jìn)E∩NE=E，PD∩AD=D
∴平面MNE∥平面PAD
∵M(jìn)N?平面MNE，
∴MN∥平面PAD；
（2）解：取AD的中點(diǎn)F，連接PF，BF
∵△PAD為正三角形，∴PF⊥AD
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PF⊥底面ABCD，
∴∠PBF是直線PB與平面ABCD所成的角
設(shè)AD=2，則PF=

3

，BF=

5

在直角△PFB中，tan∠PBF=

PF

BF

=

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面平行，考查線面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確作出線面角是關(guān)鍵．