Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，E為棱CC₁的中點(diǎn)，已知AB=

2

，BB₁=2，BC=1．
（1）證明：BE是異面直線AB與EB₁的公垂線；
（2）求二面角A-EB₁-A₁的大小；
（3）求點(diǎn)A₁到面AEB₁的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意，可由AB⊥面BC₁，證得AB⊥BE，再由題設(shè)條件用勾股定理證出∠BEB₁=90°，得出BE⊥EB₁，即可得出結(jié)論；
（2）求二面角A-EB₁-A₁的大小要先作出其平面角，由題設(shè)條件及圖形知，可證得∠AEB₁為二面角A-EB₁-A₁的平面角，再由條件求角；
（3）求點(diǎn)到面的距離問題一般可以用等體積法求解，由圖形知VA1-AEB1=VE-A1B1A，求出相關(guān)的量，即可得出點(diǎn)到面的距離．

解答：解：（1）證明：∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，∴AB⊥面BC₁，∴AB⊥BE
∵BE=B₁E=

2

，BB₁=2，∴∠BEB₁=90°，∴BE⊥EB₁
BE是異面直線AB與EB₁的公垂
（2）∵AB⊥面BC₁，BE⊥EB₁，∴AE⊥EB₁
∴∠AEB₁為二面角A-EB₁-A₁的平面角
∵AB=

2

，BE=

2

，∴∠AEB=45°
∵面A₁B₁E⊥面BCB₁C₁，∴二面角A-EB₁-A₁為45°
（3）設(shè)點(diǎn)A₁到面AEB₁的距離為h，
由上證及題設(shè)條件知S△AEB1=

1

2

•AE•EB1=

2

，
又S△A1B1A=

1

2

•A1B1•AA1=

2

，點(diǎn)E到面A₁B₁A的距離是1
∵VA1-AEB1=VE-A1B1A，
∴

1

3

×

2

×h=

1

3

×

2

×1
∴h=1
即點(diǎn)A₁到面AEB₁的距離．

點(diǎn)評：本題考查二面角的求法，解答本題關(guān)鍵是掌握住二面角求法步驟，作角，證角，求角，其中第二步證明過程容易漏掉，解題時(shí)要謹(jǐn)記，本題考查到點(diǎn)到面距離的求法，注意總結(jié)此問題的解法規(guī)律及解法步驟，點(diǎn)到面距離的求解是立體幾何中一類重要題型．這幾年高考中也多有涉及，本題思維量與運(yùn)算量不少，解題時(shí)要認(rèn)真．