Question

3．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)，又是周期為3的周期函數(shù)，當(dāng)x∈（0，$\frac{3}{2}$）時，f（x）=sin（πx），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)個數(shù)是9．

Answer 1

分析 由題意知當(dāng)x∈（0，$\frac{3}{2}$）時，f（x）=sin（πx），求出f（x）=0的根，再由條件和奇函數(shù)的性質(zhì)，求出一個周期[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]內(nèi)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，根據(jù)f（x）是定義域?yàn)镽的周期為3函數(shù)，求得f（$\frac{3}{2}$）=0，根據(jù)周期性進(jìn)行求出在區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)即可．

解答 解：由題意得當(dāng)x∈（0，$\frac{3}{2}$）時，f（x）=sin（πx），
令f（x）=0，則sinπx=0，解得x=1．
∵函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，
可得f（x+3）=f（x），
有f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），
又函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
可得f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{3}{2}$），
求得f（$\frac{3}{2}$）=0，
可得在區(qū)間[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]上有f（-1）=f（1）=f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=0，且f（0）=0，
∵函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，
則方程f（x）=0在區(qū)間[0，6]上的解有0，1，$\frac{3}{2}$，2，3，4，$\frac{9}{2}$，5，6，共9個．
故答案為：9．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的周期性和奇偶性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵結(jié)論“若奇函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，則必有f（0）=0”應(yīng)用，這個關(guān)系式大大簡化了解題過程，要注意在解題中使用．如果本題所給區(qū)間為開區(qū)間，則答案為7個，若區(qū)間為半開半閉區(qū)間，則答案為8個，故要注意對端點(diǎn)的分析．