Question

14．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{\frac{1}{2}}x（x＞0）}\\{|4x+1|（x≤0）}\end{array}\right.$，有f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，則（a+b+c）c的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{2}$）
• B． [0，$\frac{1}{2}$）
• C． [-$\frac{1}{16}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 作出分段函數(shù)f（x）的圖象，由對稱性可得a+b=-$\frac{1}{2}$，觀察可得$\frac{1}{2}$≤c＜1，再由二次函數(shù)的最值求法，可得所求范圍．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{\frac{1}{2}}x（x＞0）}\\{|4x+1|（x≤0）}\end{array}\right.$，
有f（a）=f（b）=f（c），a＜b＜c，
由右邊的圖象，則a，b關(guān)于x=-$\frac{1}{4}$對稱，
可得a+b=2×（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，
由1=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，可得x=$\frac{1}{2}$，
由題意可得$\frac{1}{2}$≤c＜1，
即有（a+b+c）c=c（c-$\frac{1}{2}$）
=c²-$\frac{1}{2}$c=（c-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{16}$，
可得在[$\frac{1}{2}$，1）遞增，
即有（a+b+c）c∈[0，$\frac{1}{2}$）．
故選：B．

點評 本題主要考查分段函數(shù)、函數(shù)的圖象以及利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力，屬于中檔題．