(2011•浦東新區(qū)三模)已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍,其左、右焦點依次為F1、F2,拋物線M:y2=4mx(m>0)的準線與x軸交于F1,橢圓C與拋物線M的一個交點為P.
(1)當(dāng)m=1時,求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,直線l過焦點F2,與拋物線M交于A、B兩點,若弦長|AB|等于△PF1F2的周長,求直線l的方程;
(3)由拋物線弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)
和橢圓弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
(
2m
3
≤x≤2m)

(m>0)合成的曲線叫“拋橢圓”,是否存在以原點O為直角頂點,另兩個頂點A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2,若存在,求出兩直角邊所在直線的斜率;若不存在,說明理由.
分析:(1)因為橢圓C的長軸長是焦距的兩倍,所以可得到a,b之間的關(guān)系,當(dāng)m=1時,可知拋物線方程,據(jù)此能夠求出拋物線的準線方程,因為拋物線的準線與x軸交于橢圓的左焦點F1,所以可求出橢圓中c的值,再根據(jù)a,b,c之間的關(guān)系,就可求出a,b的值,得到橢圓方程.
(2)設(shè)出直線l的點斜式方程,與(1)中所求橢圓方程聯(lián)立,用韋達定理求出x1+x2,x1x2,再利用弦長公式求出|AB|,讓其等于焦點三角形△PF1F2的周長,即可解出斜率k,得到直線l的方程.
(3)先假設(shè)存在以原點O為直角頂點,另兩個頂點A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2,由A1、A2所在曲線上的位置,分3種情況,①當(dāng)A1、A2同時在拋物線弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)
上時,②當(dāng)A1、A2同時在橢圓弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)
上時,③當(dāng)A1在拋物線弧上,A2在橢圓弧上時,分別計算k值,看所求k值是否在,若k值存在,則假設(shè)正確,否則,假設(shè)不正確.
解答:解:(1)設(shè)橢圓的實半軸長為a,短半軸長為b,半焦距為c,
當(dāng)m=1時,由題意得,a=2c=2,b2=a2-c2=3,a2=4,
所以橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)依題意知直線l的斜率存在,設(shè)l:y=k(x-1),由
y2=4x
y=k(x-1)
得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由直線l與拋物線M有兩個交點,可知k≠0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由韋達定理得x1+x2=
2k2+4
k2
,則|AB|=x1+x2+2=4•
1+k2
k2

又△PF1F2的周長為2a+2c=6,所以4•
1+k2
k2
=6
,
解得k=±
2
,從而可得直線l的方程為2x±
2
y-2=0

(3)由題意得,“拋橢圓”由拋物線弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)
和橢圓弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)
合成,且P1(
2m
3
,
2
6
m
3
)
、P2(
2m
3
,-
2
6
m
3
)

假設(shè)存在△OA1A2為等腰直角三角形,由A1、A2所在曲線的位置做如下3種情況討論:
①當(dāng)A1、A2同時在拋物線弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)
上時,由OP1、OP2的斜率分別為
6
,-
6
,∠A1OA2比為鈍角,顯然與題設(shè)矛盾.此時不存在                
②當(dāng)A1、A2同時在橢圓弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)
上時,由橢圓與等腰直角三角形的對稱性知,
兩直角邊關(guān)于x軸對稱.
即直線OA1的斜率為1,直線OA2的斜率為-1,
y=x
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)

x=
2
21
7
∈[
2m
3
,2m]
符合題意;此時存在
③不妨設(shè)當(dāng)A1在拋物線弧上,A2在橢圓弧上時,
于是設(shè)直線OA1的方程為y=kx(其中|k|≥
6
),將其代入y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)
x1=
4m
k2
,y1=
4m
k
;
由OA1⊥OA2,直線OA2的方程為y=-
1
k
x

同理代入橢圓弧方程
x2
4m2
+
y2
3m2
=1
(
2m
3
≤x≤2m)
x
2
2
=
12k2m2
3k2+4
,
y
2
2
=
12m2
3k2+4
,
由|OA1|=|OA2|得3k4-12k2-16=0,解得k=
2+
2
21
3
|k|≥
6
矛盾,此時不存在.
因此,存在以原點O為直角頂點,另兩個頂點A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2,兩直角邊所在直線的斜率分別為1和-1.
點評:本題主要考查了橢圓方程的求法,以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷.
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