Question

已知直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線l：x＝分別交于M，N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)求線段MN的長度的最小值；

(3)當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T，使得△TSB的面積為？若存在，確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(1)由題知A(－2,0)，D(0,1)，故a＝2，b＝1，所以橢圓方程為：＋y²＝1.

(2)設(shè)直線AS的方程為y＝k(x＋2)(k>0)，從而可知M點(diǎn)的坐標(biāo)為(，).

由得S(，)，

所以可得BS的方程為y＝－(x－2)，從而可知N點(diǎn)的坐標(biāo)(，－)，

∴|MN|＝＋≥當(dāng)且僅當(dāng)k＝時(shí)等號(hào)成立，

故當(dāng)k＝時(shí)，線段MN的長度取最小值.

(3)由(2)知，當(dāng)|MN|取最小值時(shí)，k＝，此時(shí)直線BS的方程為x＋y－2＝0，S(，)，∴|BS|＝.要使橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TSB的面積等于，只需T到直線BS的距離等于，所以點(diǎn)T在平行于直線BS且與直線BS的距離等于的直線l′上.直線BS：x＋y－2＝0；直線l′：x＋y＋m＝0，得m＝－或m＝－，

則直線l′：x＋y－＝0或x＋y－＝0，

，消去y得5x²－20x＋21＝0，Δ<0無解；

，消去y得5x²－12x＋5＝0，Δ＝44>0，有兩個(gè)解，

所以點(diǎn)T有兩個(gè).