Question

已知，函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，求的取值范圍；

（Ⅱ）已知曲線在其圖象上的兩點(diǎn)，（）處的切線分別為．若直線與平行，試探究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（Ⅰ）(1) 單調(diào)遞增區(qū)間為 ;(2) ;(Ⅱ)詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）(1)根據(jù)求出的值，然后利用,得到函數(shù)在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞增的，從而寫出其單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)時(shí)，將不等式化簡(jiǎn)，整理為在區(qū)間上有解問題，可以反解,利用不等式在區(qū)間上有解，即大于等于其最小值，轉(zhuǎn)化為求在區(qū)間上的最小值，

（Ⅱ）的對(duì)稱中心為,故合情猜測(cè)，若直線與平行，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．然后對(duì)猜測(cè)進(jìn)行證明，首先求其兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即兩切線的斜率，利用平行及斜率相等，證明,.

試題解析：（Ⅰ）（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719254521414410/SYS201411171926019022700977_DA/SYS201411171926019022700977_DA.022.png">，所以， 1分

則，

而恒成立，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． 4分

（2）不等式在區(qū)間上有解，

即不等式在區(qū)間上有解，

即不等式在區(qū)間上有解，

等價(jià)于不小于在區(qū)間上的最小值． 6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719254521414410/SYS201411171926019022700977_DA/SYS201411171926019022700977_DA.029.png">時(shí)，，

所以的取值范圍是． 9分

Ⅱ.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719254521414410/SYS201411171926019022700977_DA/SYS201411171926019022700977_DA.032.png">的對(duì)稱中心為，

而可以由經(jīng)平移得到，

所以的對(duì)稱中心為,故合情猜測(cè)，若直線與平行，

則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱． 10分

對(duì)猜想證明如下：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719254521414410/SYS201411171926019022700977_DA/SYS201411171926019022700977_DA.034.png">，

所以，

所以，的斜率分別為，．

又直線與平行，所以，即，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719254521414410/SYS201411171926019022700977_DA/SYS201411171926019022700977_DA.041.png">，所以，， 12分

從而，

所以．

又由上 ，

所以點(diǎn)，（）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．

故當(dāng)直線與平行時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱． 14分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間；2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義的綜合問題.