Question

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，分別是的中點(diǎn).

（1）證明:直線平面；

（2）求直線與面所成角的大小；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，證明為平行四邊形，且，再由三角形中位線證明，最后由線面平行的判定定理證明即可；

（2）作交于點(diǎn)，由線面垂直關(guān)系得到直線與面所成角為，再根據(jù)是正三角形求解即可；

（3）由（2）知，平面，再證明和分別垂直于，求出直線與面所成角為，再求出和的長(zhǎng)度即可求解.

（1）在直四棱柱中，取的中點(diǎn)，連接，，，

因?yàn)?/span>，，且，所以為平行四邊形，所以，

又因?yàn)?/span>分別是棱的中點(diǎn)，

所以，所以，

因?yàn)?/span>.所以四點(diǎn)共面，

所以平面，又因?yàn)?/span>平面，

所以直線平面.

（2）因?yàn)?/span>，，是棱的中點(diǎn)，

所以，為正三角形，

取的中點(diǎn)，則，

又因?yàn)橹彼睦庵?/span>中，平面，所以，

所以平面，即直線與面所成角為，

所以，即，

所以直線與面所成角為.

（3）過(guò)在平面內(nèi)作，垂足為，連接.

因?yàn)?/span>面，即，

且與相交于點(diǎn)，故且，

則為二面角的平面角，

在正三角形中，，

在中，，

∵，∴，

在中，，

，

所以二面角的余弦值為.