Question

已知數列滿足：
（1）求的值；
（2）求證：數列是等比數列；
（3）令（），如果對任意，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）是以為首相為公比的等比數列；
（3）

試題分析：（1）利用賦值法，令可求；
（2）將等式寫到，再將得到的式子與已知等式聯(lián)立，兩式再相減，根據等比數列的定，可證明是以為首相為公比的等比數列；
（3）由（2）可寫出，利用數列的單調性當時，，當時，，因此，數列的最大值為，則可解的的范圍. 
試題解析：（1） 
（2）由題可知：           ①
       ②
②-①可得  即：，又
∴數列是以為首項，以為公比的等比數列
（3）由（2）可得，   
由可得
由可得,所以
故有最大值 
所以，對任意，有
如果對任意，都有，即成立，
則，故有：，解得或
∴實數的取值范圍是