Question

某建筑物的上半部分是多面體MN-ABCD，下半部分是長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁（如圖1）．該建筑物的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖2，其中正（主）視圖由正方形和等腰梯形組合而成，側(cè)（左）視圖由長方形和等腰三角形組合而成．
（1）求線段AM的長；
（2）證明：平面ABNM⊥平面CDMN；
（3）求該建筑物的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）在平面ABNM中，作NF⊥AB于F，再過F作FE∥BC，交CD于E，連接EN．根據(jù)線面垂直的判定定理，可得AB⊥平面EFN．根據(jù)左視圖，可得△EFN是斜邊EF的等腰直角三角形，所以NF=，再用等腰梯形的性質(zhì)，得到BF==1．最后在Rt△BFN中，算出BN=，結(jié)合四邊形ABNM是等腰梯形，得AM=BN=．
（2）根據(jù)題意，可先結(jié)合線面垂直的判定定理，證出NF⊥平面CDMN，結(jié)合NF?平面ABNM，可得平面ABNM⊥平面CDMN；
（3）在平面BAMN內(nèi)，作MN⊥AB于H，過H作HG∥BC交CD于G，連接MG．先證明平面MHG∥平面NFE，結(jié)合MN∥AB∥CD，AB⊥平面EFN，得到三棱柱MHG-NFE是直三棱柱．從而將該建筑物分為四部分：三棱柱MHG-NFE+四棱錐M-ADGH+四棱錐N-BCEF+長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，分別求出它們各自的體積，相加即得該建筑物的體積．
解答：解：（1）在平面ABNM中，作NF⊥AB于F，再過F作FE∥BC，交CD于E，連接EN
∵AB⊥NF，AB⊥EF，NF∩EF=F，
∴AB⊥平面EFN．
根據(jù)該建筑物的左視圖，可得△EFN是斜邊EF=2的等腰直角三角形．
∴NF=EF=
∵四邊形ABNM是等腰梯形，MN∥AB，NF是高，
∴BF==（4-2）=1．
∴Rt△BFN中，BN===
結(jié)合四邊形ABNM是等腰梯形，得AM=BN=．
（2）∵NF⊥AB，MN∥AB，
∴NF⊥MN
又∵△EFN中，NF⊥NE，MN、NE是平面CDMN內(nèi)的相交直線，
∴NF⊥平面CDMN
∵NF?平面ABNM，
∴平面ABNM⊥平面CDMN；
（3）在平面BAMN內(nèi)，作MN⊥AB于H，過H作HG∥BC交CD于G，連接MG，
∵平面BAMN中，MH、NF都與AB垂直
∴MH∥NF，
∵M(jìn)H?平面MHG，NF?平面MHG，
∴NF∥平面MHG，同理可得EF∥平面MHG．
∵NF、EF是平面NFE內(nèi)的相交直線
∴平面MHG∥平面NFE
又∵M(jìn)N∥AB∥CD，AB⊥平面EFN，
∴三棱柱MHG-NFE是直三棱柱．
可得：V_{三棱柱MHG-NFE}=S_△EFN×MN=×2×1×2=2，
又∵矩形ABCD中，F(xiàn)E∥BC，
∴S_BCEF=BF×BC=1×2=2，可得V_{四棱錐N-BCEF}=×S_BCEF×1=
同理可得：V_{四棱錐M-ADGH}=，
又∵V_{長方體ABCD-A1B1C1D1}=S_ABCD×A₁A=2×4×4=32
∴該建筑物的體積為V=V_{三棱柱MHG-NFE}+V_{四棱錐M-ADGH}+V_{四棱錐N-BCEF}+V_{長方體ABCD-A1B1C1D1}=．
點(diǎn)評：本題給出一個特殊建筑物，要求由三視圖還原實物圖，并求這個組合幾何體的面積，著重考查了組合體積、線面垂直和面面垂直的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，屬于中檔題．