Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），點(diǎn)（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上，
（1）若數(shù)列{a_n+c}成等比數(shù)列，求常數(shù)c的值；
（2）數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請說明理由．
（3）若b_n=

1

3

an+1，請求出一個(gè)滿足條件的指數(shù)函數(shù)g（x），使得對于任意的正整數(shù)n恒有

n

k=1

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)

＜

1

3

成立，并加以證明．（其中∑為連加號(hào)，如：

n

i-1

an=a1+a2+…+an）

Answer 1

分析：（1）由“點(diǎn)（a_n，S_n）在直線y=2x-3n上．”可得S_n=2a_n-3n，由通項(xiàng)和前n項(xiàng)和關(guān)系可得a_n+1=2a_n+3，變形為a_n+1+3=2（a_n+3）符合等比數(shù)列的定義，從而求出c的值．
（2）由（1）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解有a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ整理可得a_n=3•2ⁿ-3，先假設(shè)存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差數(shù)列根據(jù)等差中項(xiàng)有2a_p=a_s+a_r，再用通項(xiàng)公式展開整理有2^p-s+1=1+2^r-s∵因?yàn)閟、p、r∈N^*且s＜p＜r所以2^p-s+1為偶數(shù)，1+2^r-s為奇數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)不會(huì)相等的．所以不存在．
（3）根據(jù)題意先求出

1

(bk+1)(bk+1+1)

的表達(dá)式，然后令g（x）=2^x即可得出結(jié)論成立．

解答：解：（1）由題意知S_n=2a_n-3n
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-3（n+1）-2a_n+3n∴a_n+1=2a_n+3（2分）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
∴

an+1+3

an+3

，又a₁=S₁=2a₁-3a₁=3
∴a₁+3=6（4分）
∴數(shù)列{a_n+3}成以6為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列，
∴c=3．
（2）由（1）得a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ
∴a_n=3•2ⁿ-3
設(shè)存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差數(shù)列
∴2a_p=a_s+a_r∴2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3∴2^p+1=2^s+2^r（9分）
即2^p-s+1=1+2^r-s（*）
∵s、p、r∈N^*且s＜p＜r
∴2^p-s+1為偶數(shù)，1+2^r-s為奇數(shù)
∴（*）為矛盾等式，不成立故這樣的三項(xiàng)不存在（12分）
（3）bn=

1

3

an+1=2ⁿ，∴

1

(bk+1)(bk+1+1)

=

1

(2k+1)(2k+1+1)

=

1

2k

（

1

2k+1

-

1

2k+1+1

）（11分）
令g（k）=2^k，則有

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)

=

1

2k+1

-

1

2k+1+1

，
∴

n

k=1

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)

=

n

k=1

（

1

2k+1

-

1

2k+1+1

）
=（

1

2+1

-

1

22+1

）+（

1

22+1

-

1

23+1

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

（13分）
即指數(shù)函數(shù)g（x）=2^x，滿足條件．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要涉及了通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，求通項(xiàng)，等差中項(xiàng)及數(shù)域問題．