Question

若函數(shù)f（x）=sin^₂x+2cos²x+m在R上的最大值為5，
（1）求m的值；
（2）求y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角和與差公式化簡函數(shù)f（x）=2sin（2x+）+1+m，進(jìn)而得出2+1+m=5，即可求出m的值．
（2）令 +2kπ≤2x+≤+2kπ，求得x的范圍，即可求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
解答：解：（1）∵f（x）=sin^₂x+2cos²x+m=sin^₂x+cos^₂x+1+m=2sin（2x+）+1+m       …（4分）
∴f（x）max=2+1+m=5
故 m=2                                          …（6分）
（2）由（1）可知 f（x）=2sin（2x+）+3
則 +2kπ≤2x+≤+2kπ，
解得 kπ+≤x≤+kπ                              …（10分）
所以，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+，+kπ]（k∈Z）   …（12分）
點(diǎn)評：本題考查三角恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的最值、單調(diào)性，屬于中檔題．