Question

已知定義域?yàn)镽⁺、值域?yàn)镽的函數(shù)f(x)，對(duì)于任意x、y正R⁺總有f(xy)=f(x)+f(y)．當(dāng)x＞1時(shí)，恒有f(x)＞0．

(1)求證：f(x)必有反函數(shù)；

(2)設(shè)f(x)的反函數(shù)是f^-1(x)，若不等式f^-1(-4^x+k·2^x-1)＜1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

(1)令x=y=1得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0

令y=，得f(1)=f(x)+f()，

∴f()=-f(x)

在R⁺內(nèi)任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，

則f()=f(x₂)+f() =f(x₂)-f(x₁)

∵＞1，∴f()＞0，∴f(x1)＜f(x2)

∴f(x)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)．

故f(x)一定存在反函數(shù)．

(2)由(1)知f(x)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，f^-1(-4^x+k·2^x-1)，1在f(x)的定義域中，所以原不等式等價(jià)于f[f^-1(-4^x+k·2^x-1]＜f(1)，恒成立

即-4^x+k·2^x-1＜0，k＜2^x+恒成立

∵2^x+的最小值為2     ∴k＜2．