Question

設(shè)橢圓+=1和x軸正方向的交點為A，和y軸的正方向的交點為B，P為第一象限內(nèi)橢圓上的點，使四邊形OAPB面積最大（O為原點），那么四邊形OAPB面積最大值為（ ）
A．ab
B．ab
C．ab
D．2ab

Answer 1

【答案】分析：利用三角函數(shù)來解答這道題，橢圓方程+=1 上 里面的自變量x，y可以表示為 x=acosa y=bsina，本題中要求第一象限，這樣就應(yīng)該有0＜a＜π，設(shè)P為（acosa，bsina）這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，計算兩個三角形的面積并借助于三角公式即可求出OAPB面積的最大值．
解答：解：由于點P是橢圓+=1和上的在第一象限內(nèi)的點，
 設(shè)P為（acosa，bsina）即x=acosa y=bsina （0＜a＜π），
這樣四邊形OAPB的面積就可以表示為兩個三角形OAP和OPB面積之和，
對于三角形OAP有面積S₁=absinα，對于三角形OBP有面積S₂=abcosα
∴四邊形的面積S=S₁+S₂=ab（sinα+cosα）
=absin（a+）
其最大值就應(yīng)該為 ab，
并且當(dāng)且僅當(dāng)a=時成立．所以，面積最大值 ab．
故選B．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解答的關(guān)鍵在于利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出橢圓上一點的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的有界性求最值．