以橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的中心O為圓心，以
ab
2
為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”．已知橢圓的離心率為
3
2
，且過點(
1
2
，
3
)．
（1）求橢圓C及其“伴隨”的方程；
（2）過點P（0，m）作“伴隨”的切線l交橢圓C于A，B兩點，記△AOB（O為坐標原點）的面積為S△AOB，將S△AOB表示為m的函數(shù)，并求S△AOB的最大值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由橢圓C的離心率，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，得到a=2b，設(shè)橢圓方程，再代入點(
1
2
，
3
)，即可得到橢圓方程和“伴隨”的方程；
（2）設(shè)切線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立橢圓方程，消去y得到x的二次方程，運用韋達定理和弦長公式，即可得到AB的長，由l與圓x2+y2=1相切，得到k，m的關(guān)系式，求出三角形ABC的面積，運用基本不等式即可得到最大值．
解答： 解：（1）橢圓C的離心率為
3
2
，即c=
3
2
a，
由c2=a2-b2，則a=2b，
設(shè)橢圓C的方程為
y2
4b2
+
x2
b2
=1，
∵橢圓C過點(
1
2
，
3
)，∴
3
4b2
+
1
4b2
=1，
∴b=1，a=2，以
ab
2
為半徑即以1為半徑，
∴橢圓C的標準方程為
y2
4
+x2=1，
橢圓C的“伴隨”方程為x2+y2=1．
（2）由題意知，|m|≥1．
易知切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程為y=kx+m，
由
y=kx+m
y
2
 
4
+
x
2
 
=1
得(
k
2
 
+4)
x
2
 
+2k mx+m2-4=0，
設(shè)A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），
則x1+x2=-
2km
k2+4
，x1x2=
m2-4
k2+4
．
又由l與圓x2+y2=1相切，所以
|m|
k2+1
=1，k2=m2-1．
所以|AB|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
(1+k2)[
4k2m2
(k2+4)2
-
4(m2-4)
k2+4
]
=
4
3
|m|
m2+3
，
則S△AOB=
1
2
|AB|=
2
3
|m|
m2+3
，|m|≥1．
S△AOB=
2
3
|m|+
3
|m|
≤
2
3
2
|m|
3
|m|
=1（當且僅當m=±
3
時取等號）
所以當m=±
3
時，S△AOB的最大值為1．
點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理和弦長公式的運用，考查直線與圓相切的條件，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
a
=（-2，1-cosθ），
b
=（1+cosθ，-
1
4
），且
a
∥
b
，則銳角θ=（　　）
A、
π
4
B、
π
6
C、
π
3
D、
π
6
或
π
3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinx-lnx（0＜x＜2π）的零點為x0有0＜a＜b＜c＜2π使f（a）f（b）f（c）＞0則下列結(jié)論不可能成立的是（　�。�
A、x0＜a
B、x0＞b
C、x0＞c
D、x0＜π

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=-
2
2
sin（2ωx+
π
4
）+
1
2
（ω＞0）的圖象與直線y=m相切，并且相鄰兩個切點的距離為
π
2
．
（1）求ω，m的值；
（2）將y=f（x）的圖象向右平移φ個單位后，所得的圖象C對應(yīng)的函數(shù)g（x）恰好是偶函數(shù)，求最小正數(shù)φ，并求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為1200立方米，深度為3米．池底每平方米的造價為15元，池壁每平方米的造價為12元．設(shè)池底長方形的長為x米．
（1）求底面積，并用含x的表達式表示池壁面積；
（2）怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低造價是多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
mx2+2
3x+n
是奇函數(shù)，且f（2）=
5
3
．
（1）求實數(shù)m和n的值；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=（m，sin（2x+
π
4
）），
b
=（1+sin（2x+
π
4
），1），x∈R，且函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點（
π
8
，3）．
（1）求實數(shù)m的值；     
（2）求函數(shù)f（x）的最小值及此時x的值的集合．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)1、F2分別是它的左、右焦點，A（-1，0）是其左頂點，且雙曲線的離心率為e=2．設(shè)過右焦點F2的直線l與雙曲線C的右支交于P、Q兩點，其中點P位于第一象限內(nèi)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線AP、AQ分別與直線x=
1
2
交于M、N兩點，求證：MF2⊥NF2；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b∈R+且a+b=1．
（1）求a2+b2的最小值；
（2）求(
1
a2
-1)(
1
b2
-1)的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案