Question

15．已知二項(xiàng)式（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N⁺）的展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是2：5，按要求完成以下問(wèn)題：
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展開(kāi)式中含x³的項(xiàng)；
（Ⅲ）計(jì)算式子C${\;}_{6}^{0}{2}^{6}$+C${\;}_{6}^{1}{2}^{5}$+C${\;}_{6}^{2}{2}^{4}$+C${\;}_{6}^{3}$2³+C${\;}_{6}^{4}{2}^{2}$+C${\;}_{6}^{5}{2}^{1}$+C${\;}_{6}^{6}{2}^{0}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，C_n¹：C_n²=2：5，即可求n的值；
（Ⅱ）寫出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為3，即可求展開(kāi)式中含x³的項(xiàng)；
（Ⅲ）令x=1得C${\;}_{6}^{0}{2}^{6}$+C${\;}_{6}^{1}{2}^{5}$+C${\;}_{6}^{2}{2}^{4}$+C${\;}_{6}^{3}$2³+C${\;}_{6}^{4}{2}^{2}$+C${\;}_{6}^{5}{2}^{1}$+C${\;}_{6}^{6}{2}^{0}$．

解答 解：（Ⅰ）依題意，C_n¹：C_n²=2：5，即5n=n（n-1），解得n=6；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6．
∴T_r+1=C₆^r（2x）^6-r$（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=C₆^r2^6-r${x}^{6-\frac{3}{2}r}$
由6-$\frac{3}{2}$r=3，得r=2，∴展開(kāi)式中含x³的項(xiàng)C₆²2^6-2x³=240x³．
（Ⅲ）令x=1得C${\;}_{6}^{0}{2}^{6}$+C${\;}_{6}^{1}{2}^{5}$+C${\;}_{6}^{2}{2}^{4}$+C${\;}_{6}^{3}$2³+C${\;}_{6}^{4}{2}^{2}$+C${\;}_{6}^{5}{2}^{1}$+C${\;}_{6}^{6}{2}^{0}$=3⁶．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的項(xiàng)與系數(shù)，同時(shí)還考查賦值法求值，體現(xiàn)一般與特殊的數(shù)學(xué)思想．