Question

19．已知正數(shù)x，y滿足x+y=1，則x-y的取值范圍為（-1，1），$\frac{1}{x}+\frac{x}{y}$的最小值為3．

Answer 1

分析 ①根據(jù)題意，求出x-y的表達(dá)式，利用0＜x＜1即可求出x-y的取值范圍；
②把1=x+y代人$\frac{1}{x}+\frac{x}{y}$，利用基本不等式即可求出它的最小值．

解答 解：①∵正數(shù)x，y滿足x+y=1，
∴y=1-x，
∴-y=-1+x，
∴x-y=2x-1；
又0＜x＜1，
∴0＜2x＜2，
∴-1＜2x-1＜1，
即x-y的取值范圍為（-1，1）；
②$\frac{1}{x}+\frac{x}{y}$=$\frac{x+y}{x}$+$\frac{x}{y}$=1+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥1+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{x}{y}}$=1+2=3，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{1}{2}$時(shí)取“=”；
∴$\frac{1}{x}+\frac{x}{y}$的最小值為3．
故答案為：（-1，1），3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的基本性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．