Question

5．如圖，陰影部分為古建筑物保護(hù)群所在地，其形狀是以O(shè)₁為圓心，半徑為1km的半圓面．公路l經(jīng)過點(diǎn)O，且與直徑OA垂直，現(xiàn)計(jì)劃修建一條與半圓相切的公路PQ（點(diǎn)P在直徑OA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)Q在公路l上），T為切點(diǎn)．
（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系：
①設(shè)∠OPQ=α（rad），將△OPQ的面積S表示為α的函數(shù)；
②設(shè)OQ=t（km），將△OPQ的面積S表示為t的函數(shù)．
（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求△OPQ的面積S的最小值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合圖形，①用sinα求出PO₁、OP以及OQ的值，計(jì)算△OPQ的面積S即可；
②設(shè)OQ=t（km），∠OQP=2θ，用tanθ表示出OP，再計(jì)算△OPQ的面積S；
（2）用（1）中②函數(shù)關(guān)系S=$\frac{{t}^{3}}{{t}^{2}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{3}}}$，設(shè)x=$\frac{1}{t}$，函數(shù)f（x）=x-x³，
求出f（x）的最大值即可求出S的最小值．

解答 解：（1）如圖所示，
①設(shè)∠OPQ=α（rad），
則sinα=$\frac{1}{{PO}_{1}}$，
∴PO₁=$\frac{1}{sinα}$，
OP=1+$\frac{1}{sinα}$，
OQ=OP•tanα=（1+$\frac{1}{sinα}$）•tanα；
∴△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$OP•OQ=$\frac{1}{2}$•（1+$\frac{1}{sinα}$）（1+$\frac{1}{sinα}$）•tanα=$\frac{1}{2}$•${（1+\frac{1}{sinα}）}^{2}$•tanα；
②設(shè)OQ=t（km），∠OQP=2θ，
則tanθ=$\frac{1}{t}$，
tan2θ=$\frac{2tanθ}{1{-tan}^{2}θ}$=$\frac{\frac{2}{t}}{1{-（\frac{1}{t}）}^{2}}$=$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$，
∴OP=OQ•tan2θ=$\frac{{2t}^{2}}{{t}^{2}-1}$，
∴△OPQ的面積S=$\frac{1}{2}$OP•OQ=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2t}^{2}}{{t}^{2}-1}$•t=$\frac{{t}^{3}}{{t}^{2}-1}$；
（2）用（1）中②函數(shù)關(guān)系，S=$\frac{{t}^{3}}{{t}^{2}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{3}}}$，
設(shè)x=$\frac{1}{t}$＞0，函數(shù)f（x）=x-x³，（x＞0）；
則f′（x）=1-3x²，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴x∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
x∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
∴當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值是f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$；
∴△OPQ的面積S的最小值是$\frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{9}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，也考查了三角形面積公式的靈活應(yīng)用問題，是綜合性題目．