定義:設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f′(x)為(a,b)內(nèi)的增函數(shù),則稱f(x)為(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù).
(Ⅰ)已知f(x)=ex-ax3+x在(0,+∞)內(nèi)為下凸函數(shù),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)f(x)為(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù),求證:對(duì)于任意正數(shù)λ1,λ2,λ12=1,
不等式f(λ1x12x2)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)對(duì)于任意的x1,x2∈(a,b)恒成立.
分析:(I)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)為下凸函數(shù)等價(jià)于x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)為增函數(shù),則x∈(0,+∞)時(shí),[f′(x)]≥0恒成立,將a分離出來,研究不等式另一側(cè)的最小值即可求出a的范圍.
(II)利用上凸函數(shù)的定義“f(x)是定義在閉區(qū)間[a,b]上的函數(shù),若任意x,y∈[a,b]和任意λ∈(0,1),有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)成立”進(jìn)行證明即可.
解答:解:(I)f(x)=ex-ax3+x在(0,+∞)內(nèi)為下凸函數(shù)等價(jià)于x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)=ex-3ax2+1為增函數(shù);
所以x∈(0,+∞)時(shí),[f′(x)]=ex-6ax≥0恒成立,即a≤
ex
6x
恒成立
設(shè)g(x)=
ex
6x
,g′(x)=
ex(x-1)
6x2
,
令g′(x)=0,得x=1,且當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0.
所以在x=1時(shí),g(x)取得最小值為
e
6
,所以a≤
e
6

(II)證明:根據(jù)上凸函數(shù)的定義“f(x)是定義在閉區(qū)間[a,b]上的函數(shù),若任意x,y∈[a,b]和任意λ∈(0,1),有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)成立”
取x=x1,y=x2,λ=λ1,1-λ=1-λ12,而任意正數(shù)λ1,λ2,λ12=1,x1、x2∈(a,b)
得不等式f(λ1x12x2)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)對(duì)于任意的x1,x2∈(a,b)恒成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及利用上凸函數(shù)的定義證明不等式,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(1)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)u<v,求證:數(shù)學(xué)公式
(2)定義 設(shè)函數(shù)F(x)和f(x)都在區(qū)間I上有定義,若對(duì)I的任意子區(qū)間[u,v],總有[u,v]上的p和q,使有不等式數(shù)學(xué)公式成立,則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的甲函數(shù),f(x)是F(x)在區(qū)間I上的乙函數(shù).
請(qǐng)根據(jù)乙函數(shù)定義證明:在(0,+∞)上,函數(shù)數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式的乙函數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

定義:設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f′(x)為(a,b)內(nèi)的增函數(shù),則稱f(x)為(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù).
(Ⅰ)已知f(x)=ex-ax3+x在(0,+∞)內(nèi)為下凸函數(shù),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)f(x)為(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù),求證:對(duì)于任意正數(shù)λ1,λ2,λ12=1,
不等式f(λ1x12x2)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)對(duì)于任意的x1,x2∈(a,b)恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

定義:設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f′(x)為(a,b)內(nèi)的增函數(shù),則稱f(x)為(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù).
(Ⅰ)已知f(x)=ex-ax3+x在(0,+∞)內(nèi)為下凸函數(shù),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)f(x)為(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù),求證:對(duì)于任意正數(shù)λ1,λ2,λ12=1,
不等式f(λ1x12x2)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)對(duì)于任意的x1,x2∈(a,b)恒成立.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高二(下)第一學(xué)段數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

定義:設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f′(x)為(a,b)內(nèi)的增函數(shù),則稱f(x)為(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù).
(Ⅰ)已知f(x)=ex-ax3+x在(0,+∞)內(nèi)為下凸函數(shù),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)f(x)為(a,b)內(nèi)的下凸函數(shù),求證:對(duì)于任意正數(shù)λ1,λ2,λ12=1,
不等式f(λ1x12x2)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)對(duì)于任意的x1,x2∈(a,b)恒成立.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案