Question

定義：設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，若f′（x）為（a，b）內(nèi)的增函數(shù)，則稱f（x）為（a，b）內(nèi)的下凸函數(shù)．
（Ⅰ）已知f（x）=e^x-ax³+x在（0，+∞）內(nèi)為下凸函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)f（x）為（a，b）內(nèi)的下凸函數(shù)，求證：對(duì)于任意正數(shù)λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，
不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）對(duì)于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．

Answer 1

解：（I）f（x）=e^x-ax³+x在（0，+∞）內(nèi)為下凸函數(shù)等價(jià)于x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）=e^x-3ax²+1為增函數(shù)；
所以x∈（0，+∞）時(shí)，[f′（x）]^′=e^x-6ax≥0恒成立，即恒成立
設(shè)，，
令g′（x）=0，得x=1，且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0．
所以在x=1時(shí)，g（x）取得最小值為，所以
（II）證明：根據(jù)上凸函數(shù)的定義“f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”
取x=x₁，y=x₂，λ=λ₁，1-λ=1-λ₁=λ₂，而任意正數(shù)λ₁，λ₂，λ₁+λ₂=1，x₁、x₂∈（a，b）
得不等式f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）對(duì)于任意的x₁，x₂∈（a，b）恒成立．
分析：（I）函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)為下凸函數(shù)等價(jià)于x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）為增函數(shù)，則x∈（0，+∞）時(shí)，[f′（x）]^′≥0恒成立，將a分離出來，研究不等式另一側(cè)的最小值即可求出a的范圍．
（II）利用上凸函數(shù)的定義“f（x）是定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，若任意x，y∈[a，b]和任意λ∈（0，1），有f（λx+（1-λ）y）≤λf（x）+（1-λ）f（y）成立”進(jìn)行證明即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用上凸函數(shù)的定義證明不等式，屬于難題．