Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}共有m（m≥3）項，記該數(shù)列前i項a₁，a₂，…a_i中的最大項為A_i，該數(shù)列后m-i項a_i+1，a_i+2，…，a_m中的最小項為B_i，r_i=A_i-B_i（i=1，2，3，…，m-1）．
（1）若數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ，求數(shù)列{r_i}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，r_i=-2，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）試構(gòu)造一個數(shù)列{a_n}，滿足a_n=b_n+c_n，其中{b_n}是公差不為零的等差數(shù)列，{c_n}是等比數(shù)列，使得對于任意給定的正整數(shù)m，數(shù)列{r_i}都是單調(diào)遞增的，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2ⁿ單調(diào)遞增，可得A_i=2ⁱ，B_i=2ⁱ⁺¹，即可得到r_i=A_i-B_i；
（2）由題意可得A_i＜B_i，即a_i＜a_i+1，又因為i=1，2，3，…，m-1，所以{a_n}單調(diào)遞增，可得{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，進而得到所求通項公式；
（3）構(gòu)造a_n=n-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，其中b_n=n，c_n=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，運用新定義即可得證．

解答 解：（1）因為a_n=2ⁿ單調(diào)遞增，
所以A_i=2ⁱ，B_i=2ⁱ⁺¹，
所以r_i=A_i-B_i=-2ⁱ，1≤i≤m-1；
（2）根據(jù)題意可知，a_i≤A_i，B_i≤a_i+1，
因為r_i=A_i-B_i=-2＜0，所以A_i＜B_i，
可得a_i≤A_i＜B_i≤a_i+1，即a_i＜a_i+1，
又因為i=1，2，3，…，m-1，所以{a_n}單調(diào)遞增，
則A_i=a_i，B_i=a_i+1，所以r_i=a_i-a_i+1=-2，即a_i+1-a_i=2，1≤i≤m-1，
所以{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，a_n=1+2（n-1）=2n-1，1≤i≤m-1；
（3）構(gòu)造a_n=n-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，其中b_n=n，c_n=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
下證數(shù)列{a_n}滿足題意．
證明：因為a_n=n-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，所以數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，
所以A_i=a_i=i-（$\frac{1}{2}$）ⁱ，B_i=a_i+1=i+1-（$\frac{1}{2}$）ⁱ⁺¹，
所以r_i=a_i-a_i+1=-1-（$\frac{1}{2}$）ⁱ⁺¹，1≤i≤m-1，
因為r_i+1-r_i=[-1-（$\frac{1}{2}$）ⁱ⁺²]-[-1-（$\frac{1}{2}$）ⁱ⁺¹]=（$\frac{1}{2}$）ⁱ⁺²＞0，
所以數(shù)列{r_i}單調(diào)遞增，滿足題意．
（說明：等差數(shù)列{b_n}的首項b₁任意，公差d為正數(shù)，同時等比數(shù)列{c_n}的首項c₁為負，公比q∈（0，1），這樣構(gòu)造的數(shù)列{a_n}都滿足題意．）

點評 本題考查新定義的理解和運用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．