Question

已知f（x）=x²-2|x|，則滿足f[f（x）]=-

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2

的實數(shù)x的個數(shù)為（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：令f（x）=t，現(xiàn)在來求滿足f（t）=-

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的t，容易判斷f（t）為偶函數(shù)，所以可先求t≥0時的t，解出為t=1+

2

2

，或1-

2

2

．根據(jù)偶函數(shù)的對稱性知，t＜0時，滿足f（t）=-

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的解為-1-

2

2

，或-1+

2

2

，而接著就要判斷以下幾個方程：f（x）=1+

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2

，f（x）=1-

2

2

，f（x）=-1-

2

2

，f（x）=-1+

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2

解的個數(shù)，由于f（x）是偶函數(shù)，所以只需判斷x≥0時以上幾個方程解的個數(shù)即可，而x＜0時方程解的個數(shù)和x≥0時解的個數(shù)相同，最后即可得出滿足f[f（x）]=-

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2

的實數(shù)x的個數(shù)．

解答： 解：易知f（x）為偶函數(shù)，令f（x）=t，則f[f（x）]=-

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變形為f（t）=-

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；
t≥0時，f（t）=t2-2t=-

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，解得t=1+

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，或1-

2

2

；
∵f（t）是偶函數(shù)；
∴t＜0時，f（t）=-

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的解為，t=-1-

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，或-1+

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2

；
綜上得，f（x）=1+

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，1-

2

2

，-1-

2

2

，-1+

2

2

；
當x≥0時，
x2-2x=(x-1)2-1=1+

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2

，方程有1解；
x2-2x=(x-1)2-1=1-

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2

，方程有1解；
x2-2x=(x-1)2-1=-1-

2

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，方程無解；
x2-2x=(x-1)2-1=-1+

2

2

，方程有2解；
∴當x≥0時，方程f（x）=t有4解；
∵f（x）是偶函數(shù)，∴x＜0時，f（x）=t也有4解；
綜上所述，滿足f[f（x）]=-

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的實數(shù)x的個數(shù)為8．
故選D．

點評：考查偶函數(shù)的概念及偶函數(shù)圖象的對稱性，以及解偶函數(shù)方程和判斷偶函數(shù)方程解的個數(shù)所用到的方法：只需求出x≥0時方程的解．