Question

已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且滿足4Sn=(an+1)2.[來

(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn=，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求Tn的最小值.

 

Answer 1

（1）an=2n-1；（2）.

【解析】

試題分析：(1)本小題可化歸為an+1=Sn+1-Sn，整理為4an+1=an+12-an2+2an+1-2an再因式分解為2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an)，即可得到an+1-an=2，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可知{an}為等差數(shù)列，易得其通項公式；（2）本小題bn通項公式先進行裂項，利用裂項相消法可求得Tn的值，可證明Tn+1>Tn，易知{Tn}為遞增數(shù)列，則最小值為T1.

試題解析：(1)因為(an+1)2=4Sn,所以Sn=,Sn+1=.

所以Sn+1-Sn=an+1=即4an+1=an+12-an2+2an+1-2an, ∴2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an).

因為an+1+an≠0,所以an+1-an=2,即{an}為公差等于2的等差數(shù)列.由(a1+1)2=4a1,解得a1=1,所以an=2n-1.

(2)由(1)知bn==,∴Tn=b1+b2+…+bn=

∵Tn+1-Tn=

∴Tn+1>Tn，∴數(shù)列{Tn}為遞增數(shù)列，∴Tn的最小值為T1=.

考點：與的關(guān)系：，等差數(shù)列的定義，裂項相消法，遞增數(shù)列的定義.