Question

1．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對任意實數(shù)x都有x²f′（x）＞2xf（-x），則不等式x²f（x）＜（3x-1）²f（1-3x）的解集是（　�。�

• A． （$\frac{1}{4}$，+∞）
• B． （0，$\frac{1}{4}$）
• C． （-∞，$\frac{1}{4}$）
• D． （-∞，$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得：f（-x）=-f（x）．對任意正實數(shù)x滿足xf′（x）＞2f（-x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，設(shè)g（x）=x²f（x），可得g′（x）＞0．可得函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．即可得出．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）．
對任意正實數(shù)x滿足xf′（x）＞2f（-x），
∴xf′（x）+2f（x）＞0，
設(shè)g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）＞0．
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又g（0）=0，g（-x）=x²f（-x）=-g（x），
∴函數(shù)g（x）是R上的奇函數(shù)，
∴g（x）是R上的增函數(shù)．
∵不等式x²f（x）＜（3x-1）²f（1-3x）
∴g（x）＜g（1-3x），
∴x＜1-3x，
解得x＜$\frac{1}{4}$．
∴不等式x²f（x）＜（3x-1）²f（1-3x）的解集為：（-∞，$\frac{1}{4}$）．
故選：C．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．