Question

10．已知f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcos-cos（π+2x）．
（Ⅰ）求f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若f（C）=1，c=$\sqrt{3}$，a+b=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和誘導公式以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（C）=1，求出角C的大小，c=$\sqrt{3}$，a+b=2$\sqrt{3}$，利用余弦定理建立關系，可求△ABC的面積．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcos-cos（π+2x）．
化簡可得：f（x）$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴f（x）的單調增區(qū)間為[$-\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∵f（C）=1，即2sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π
可得：2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$
∴C=$\frac{π}{3}$．
由a+b=2$\sqrt{3}$，可得a²+b²=12-2ab．
∵c=$\sqrt{3}$，
根據(jù)余弦定理：cosC=$\frac{a^2+b^2-{c}^{2}}{2ab}$可得：$\frac{12-2ab-{c}^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
解得：ab=3．
故得△ABC的面積$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．同時考查了余弦定理的運用和△ABC的面積的公式．屬于中檔題．