Question

如圖：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=

3

，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動．
（1）證明：無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；
（2）當(dāng)BE等于何值時(shí)，PA與平面PDE所成角的大小為45°．

Answer 1

分析：（1）建立如圖所示空間坐標(biāo)系，得出P、B、F、D的坐標(biāo)．設(shè)BE=x得E（x，1，0），算出

PE

、

AF

的坐標(biāo)，得出

PE

•

AF

=0，由此可得無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE⊥AF；
（2）利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，算出

m

=(

3

3

，1-

3

3

x，1)是平面PDE的一個(gè)法向量，結(jié)合

AP

=（0，0，1）與題中PA與平面PDE所成角，利用空間向量夾角公式建立關(guān)于x的方程，解出x的值即可得到PA與平面PDE所成角的大小為45°時(shí)，BE的長．

解答：解：（1）分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示空間坐標(biāo)系
則可得P（0，0，1），B（0，1，0），F(xiàn)（0，

1

2

，

1

2

），D（

3

，0，0）
  設(shè)BE=x，則E（x，1，0）
∴

PE

=（x，1，-1）
得

PE

•

AF

=x•0+1×

1

2

+（-1）×

1

2

=0
可得

PE

⊥

AF

，即AF⊥PE成立；
（2）求出

PD

=（

3

，0，-1），設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量為

m

=(p，q，1)
則

m • PD = 3 p-1=0 m • PE =px+q-1=0

，得

m

=(

3

3

，1-

3

3

x，1)
∵PA與平面PDE所成角的大小為45°，

AP

=（0，0，1）
∴sin45°=

| m • AP |

|m| • |AP|

=

2

2

，得

1

1 3 +(1- 3 3 x)2+1

=

2

2

解之得x=

3

-

2

或x=

3

+

2

∵BE=x∈[0，

3

]，
∴BE=

3

-

2

，即當(dāng)BE等于

3

-

2

時(shí)，PA與平面PDE所成角的大小為45°．

點(diǎn)評：本題利用空間坐標(biāo)系研究了線線垂直和直線與平面所成角大�。�著重考查了空間垂直位置關(guān)系的判定與證明、直線與平面所成角和向量的夾角公式等知識，屬于中檔題．