Question

某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的十字形地域，四個小矩形加一個正方形面積共為200平方米．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個角上鋪設草坪，造價為每平方米80元．
（1）設AD長為x米，總造價為S元，試建立S關于x的函數關系式；
（2）問：當x為何值時S最小，并求出這個最小值．

Answer 1

分析：（1）根據由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的十字形地域，四個小矩形加一個正方形面積共為200平方米得出AM的函數表達式，最后建立建立S與x的函數關系即得；
（2）利用基本不等式求出（1）中函數S的最小值，并求得當x取何值時，函數S的最小值即可．

解答：解：（1）由題意，有 AM=

200-x2

4x

由AM＞0，有   0＜x＜10

2

則S=4200x2+210×(200-x2)+80×2×(

200-x2

4x

)2
=4200x2+42000-210x2+

400000+10x4-4000x2

x2

=4000x2+

400000

x2

+38000（ 0＜x＜10

2

）
（2）S=4000x2+

400000

x2

+38000≥2

4000x2× 400000 x2

+38000=118000
取等號時，4000x2=

400000

x2

，即x=

10

∈(0，10

2

)
∴當x=

10

米時，S_min=118000元．

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．