Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（-1）=0，設(shè)g（x）=x²-mx-2m-1，集合A={m|對任意的x∈[1，2]，g（x）＜0恒成立}，集合B={m|對任意的x∈[1，2]，f（g（x））＜0恒成立}，求A∩B．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系得到f（x）＜0的解，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合集合的基本運算即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（-1）=0，
∴f（x）對應(yīng)的圖象如圖所示，
對任意的x∈[1，2]，f（g（x））＜0恒成立，
即g（x）＜-1或0＜g（x）＜1，在x∈[1，2]上恒成立，
即集合B={m|對任意的x∈[1，2]，f（g（x））＜0恒成立}={m|對任意的x∈[1，2]，g（x）＜-1或0＜g（x）＜1恒成立}，
∵集合A={m|對任意的x∈[1，2]，g（x）＜0恒成立}，
∴A∩B={m|對任意的x∈[1，2]，g（x）＜-1恒成立}，
由g（x）＜-1得x²-mx-2m-1＜-1，
即x²-mx-2m＜0，
設(shè)m（x）=x²-mx-2m，
則滿足

m(1)＜0 m(2)＜0

，
即

1-m-2m＜0 4-2m-2m＜0

，
解得

m＞ 1 3 m＞1

，即m＞1，
故A∩B={m|對任意的x∈[1，2]，g（x）＜-1恒成立}={m|m＞1}．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及集合的基本運算，要求熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本題綜合性較強，有一定的難度．