已知三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,數(shù)學(xué)公式,N為AB
上一點(diǎn),AB=4AN,M,D,S分別為PB,AB,BC的中點(diǎn).
(1)求證:PA∥平面CDM;
(2)求證:SN⊥平面CDM;
(3)求二面角D-MC-N的大。

(1)證明:在三棱錐P-ABC中,
因?yàn)镸,D,分別為PB,AB的中點(diǎn),所以MD∥PA,
因?yàn)镸D?平面CMD,PA?平面CMD,
所以PA∥平面CMD.
(2)證明:因?yàn)镸,D,分別為PB,AB的中點(diǎn),
所以MD∥PA,
因?yàn)镻A⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC,
又SN?平面ABC所以MD⊥SN.…(6分)
設(shè)PA=1,以A為原點(diǎn),AB,AC,AP所在直線分別為x,y,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示,
則P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),
,
所以,
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63977.png' />,
所以CM⊥SN.…(9分)
又CM∩MD=M,
所以SN⊥平面CMD.…(10分)
(3)解:由(2)知,是平面CMD的一個(gè)法向量,
設(shè)平面MCN的法向量,則,
,
所以,令
所以,
從而
因?yàn)槎娼荄-MC-N為銳角.
所以二面角D-MC-N的大小為.…..(14分)
分析:(1)在三棱錐P-ABC中,由M,D,分別為PB,AB的中點(diǎn),知MD∥PA,由此能夠證明PA∥平面CMD.
(2)因?yàn)镸,D,分別為PB,AB的中點(diǎn),所以MD∥PA.因?yàn)镻A⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC,又SN?平面ABC,所以MD⊥SN.設(shè)PA=1,以A為原點(diǎn),AB,AC,AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),,由向量法能夠證明SN⊥平面CMD.
(3)是面CMD的一個(gè)法向量,設(shè)面MCN的法向量,由,得到,由此能求出二面角D-MC-N的大小.
點(diǎn)評:本題考查PA∥平面CDM的證明,求證SN⊥平面CDM,求二面角D-MC-N的大。疾檫\(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意向量法的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩相互垂直,且PA=2
3
,PB=3,PC=2外接球的直徑等于
 

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(2009•河西區(qū)二模)如圖,已知三棱錐P-ABC中,PA⊥面ABC,其中正視圖為Rt△PAC,AC=2
6
,PA=4,俯視圖也為直角三角形,另一直角邊長為2
2

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