【題目】設圓的圓心為A,直線過點B(1,0)且與軸不重合,交圓AC,D兩點,過BAC的平行線交AD于點E.

(Ⅰ)證明:為定值,并寫出點E的軌跡方程;

(Ⅱ)設點E的軌跡為曲線C1,直線C1M,N兩點,過B且與垂直的直線與C1交于P,Q兩點, 求證:是定值,并求出該定值.

【答案】(I));(II)

【解析】

(I)根據幾何關系,即可證明為定值,再利用橢圓的定義即可求出點E的軌跡方程;

(Ⅱ)利用點斜式設出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立方程組,得到關于的一元二次方程,利用根與系數(shù)關系以及弦長公式表示出,同理可得,代入中進行化簡即可證明為定值。

(I)因為,,故,

所以,故.

又圓的標準方程為,從而

所以,由題設得,,

由橢圓定義可得點的軌跡方程為:).

(II)依題意:軸不垂直,設的方程為,,.

得,.

,.

所以.

同理:(定值)

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