Question

16．已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿BD將△BCD翻折到△BC'D，使得平面BC'D⊥平面ABD．
（1）求證：C′D⊥平面ABD；
（2）求二面角D-BE-C′的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出C'D⊥BD，由此能證明C′D⊥平面ABD．
（2）由（1）知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，以D為原點，DB，CD，DC′所在直線分別為x，y，z軸建立的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用同量法能求出二面角D-BE-C'的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由題意可知C'D=CD=6，BC'=BC=10，BD=8，
即BC'²=C'D²+BD²，故C'D⊥BD．                                               …（2分）
因為平面BC'D⊥平面ABD，平面BC'D∩平面ABD=BD，
C′D?平面BC′D，所以C′D⊥平面ABD．    …（5分）
（2）由（1）知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，以D為原點，
DB，CD，DC′所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則d（0，0，0），A（8，6，0），B（8，0，0），C'（0，0，6）．
由于E是線段AD的中點，所以E（4，3，0），$\overrightarrow{BD}=（-8，0，0）$．
在平面BEC'中，$\overrightarrow{BE}=（-4，3，0）$，$\overrightarrow{BC'}=（-8，0，6）$，
設(shè)平面BEC'的法向量為n=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BE}•n=0\\ \overrightarrow{BC'}•n=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-4x+3y=0\\-8x+6z=0\end{array}\right.$，令x=3，得y=4，z=4，
所以平面BEC'的一個法向量為n=（3，4，4）．                 …（9分）
而平面DBE的一個法向量為$\overrightarrow{DC'}=（0，0，6）$…（10分）
故$cos\left?{n，\overrightarrow{DC'}}\right＞=\frac{{n•\overrightarrow{DC'}}}{{|n|•|\overrightarrow{DC'}|}}=\frac{{4\sqrt{41}}}{41}$，
由圖易知二面角D-BE-C'的平面角為銳角，所以二面角D-BE-C'的余弦值為$\frac{{4\sqrt{41}}}{41}$．      …（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．