Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角$α，β（0＜α＜\frac{π}{2}＜β＜π）$的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為$\frac{5}{13}，-\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）寫出cosα，cosβ的值；（只需寫出結(jié)果）
（Ⅱ）求tanβ的值；
（Ⅲ）求∠AOB的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)的定義，寫出cosα，cosβ的值；
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求tanβ的值；
（Ⅲ）利用cos∠AOB=cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα，求∠AOB的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）$cosα=\frac{5}{13}$；$cosβ=-\frac{4}{5}$．…（2分）
（Ⅱ）因為$cosβ=-\frac{4}{5}$，$\frac{π}{2}＜β＜π$，
所以$sinβ=\frac{3}{5}$．…（4分）
所以$tanβ=\frac{sinβ}{cosβ}=\frac{{\frac{3}{5}}}{{-\frac{4}{5}}}=-\frac{3}{4}$．…（6分）
（Ⅲ） 因為$cosα=\frac{5}{13}$，$0＜α＜\frac{π}{2}$，
所以$sinα=\frac{12}{13}$．…（8分）
所以cos∠AOB=cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=$-\frac{4}{5}×\frac{5}{13}+\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{16}{65}$．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．