10．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（4）=6，解不等式f（3-2x）+f（-x）＞3．

分析 （1）先判斷函數(shù)f（x）為定義上的單調(diào)遞減函數(shù)，再用作差比較法證明；
（2）先得出f（2）=3，將原不等式等價(jià)為：f[（3-2x）（-x）]＞f（2），再運(yùn)用函數(shù)的調(diào)調(diào)性列不等式組求解．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，證明過程如下：
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，所以，0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，
則f（x1）-f（x2）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x2）-f（x2）
=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x2）-f（x2）
=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
（2）因?yàn)閒（4）=f（2）+f（2）=6，所以f（2）=3，
原不等式可寫成：f[（3-2x）（-x）]＞f（2），
再根據(jù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性得$\left\{\begin{array}{l}{3-2x＞0}\\{-x＞0}\\{（3-2x）•（-x）＜2}\end{array}\right.$，
解得，-$\frac{1}{2}$＜x＜0，
即原不等式的解集為：（-$\frac{1}{2}$，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，以及運(yùn)用抽象函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)不等式，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角$α，β（0＜α＜\frac{π}{2}＜β＜π）$的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為$\frac{5}{13}，-\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）寫出cosα，cosβ的值；（只需寫出結(jié)果）
（Ⅱ）求tanβ的值；
（Ⅲ）求∠AOB的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E、F分別是棱AA′，CC′的中點(diǎn)，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M、N，設(shè)BM=x，x∈（0，1），給出以下四個(gè)命題：
①四邊形MENF為平行四邊形；
②若四邊形MENF面積s=f（x），x∈（0，1），則f（x）有最小值；
③若四棱錐A-MENF的體積V=p（x），x∈（0，1），則p（x）為常函數(shù)；
④若多面體ABCD-MENF的體積V=h（x），x∈（$\frac{1}{2}$，1），則h（x）為單調(diào)函數(shù)；
其中假命題為 （　�。�
A．①B．②C．③D．④

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

18．己知α是第三象限角，且tanα=$\frac{5}{12}$，則cosα的值是（　�。�
A．-$\frac{5}{13}$B．$\frac{5}{13}$C．$\frac{12}{13}$D．-$\frac{12}{13}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

5．設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是空間兩個(gè)不共線的向量，已知$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=5$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{DC}$=-$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k=1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．法國數(shù)學(xué)家棣莫弗，A．（De Moivre，Abraham）證明了這樣一個(gè)結(jié)論（也稱棣莫弗定理）（cosα+isinα）n=cos（nα）+isin（nα）（這里i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)），應(yīng)用此結(jié)論求下面式子的值
${C}_{7}^{0}$（cos$\frac{π}{7}$）7-${C}_{7}^{2}$（cos$\frac{π}{7}$）5（sin$\frac{π}{7}$）2+${C}_{7}^{4}$（cos$\frac{π}{7}$）3（sin$\frac{π}{7}$）4-${C}_{7}^{6}$（cos$\frac{π}{7}$）（sin$\frac{π}{7}$）6=-1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

2．下列條件使M與A，B，C一定共面的是（　�。�
A．$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$B．$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$
C．$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$D．$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{0}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．已知函數(shù)f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+2}$+x）-lg$\sqrt{2}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷并用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．如圖，已知四棱錐S-ABCD，底面ABCD為菱形，SA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，E，F(xiàn)分別是SC，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：SD⊥AF；
（Ⅱ）若AB=2，SA=4，求二面角F-AE-C的余弦值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案