Question

平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)（1，0）的距離之積等于2．
（Ⅰ）求△PF₁F₂周長(zhǎng)的最小值；
（Ⅱ）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C方程，用y²=f（x）形式表示；
（Ⅲ）類似教材（橢圓的性質(zhì)、雙曲線的性質(zhì)、拋物線的性質(zhì)）中研究曲線的方法請(qǐng)你研究軌跡C的性質(zhì)，請(qǐng)直接寫出答案．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）根據(jù)P（x，y）到兩定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)（1，0）的距離之積等于2得到|PF₁|•|PF₂|=2，然后利用基本不等式求得△PF₁F₂周長(zhǎng)的最小值；
（Ⅱ）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入|PF₁|•|PF₂|=2整理后得答案；
（Ⅲ）直接由曲線方程得到軌跡C的性質(zhì)．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，得|PF₁|•|PF₂|=2，
則|PF1|+|PF2|≥2

|PF1|•|PF2|

=2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|=

2

時(shí)等式成立．
∴△PF₁F₂周長(zhǎng)的最小值為2

2

+2；
（Ⅱ）∵|PF₁|•|PF₂|=2，
∴

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=2，
化簡(jiǎn)得y2=2

x2+1

-x2-1．
（III）性質(zhì)：
對(duì)稱性：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
關(guān)于x軸對(duì)稱．
關(guān)于y軸對(duì)稱．
頂點(diǎn)：（0，±1），（±

3

，0）．
x的范圍：-

3

≤x≤

3

．
y的范圍：-1≤y≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查了曲線的性質(zhì)，是中檔題．